domingo, 22 de diciembre de 2019

Foundations of Mathematics - Tema 1

Muy ocupado con el trabajo. Como ya os ponía en la entrada anterior, he decidido aparcar la materia de Matemática Discreta e intentar centrarme en Lenguaje, aunque tampoco esté seguro de que vaya a tener el suficiente tiempo para esta. Para intentar complementarla y consolidarla mejor, he empezado también el libro de Ian Stewart y David Hall The Foundations of Mathematics, que cubre un espectro similar.

He hecho los ejercicios del tema 1, cuyas respuestas coloco aquí.






viernes, 6 de diciembre de 2019

Priorizando

A estas alturas, me veo en la obligación de tomar una decisión desagradable que nunca había tenido que hacer con anterioridad. Estoy viendo que no voy a tener tiempo para preparar bien las dos materias en que me he matriculado este cuatrimestre, con lo que voy a tener que sacrificar una para septiembre.

Dado que tengo mucho más avanzado el libro de Lenguaje Matemático, va a ser Matemática Discreta la que deje de lado.

Para el año que viene tengo que calcular mejor los tiempos. Cada materia de las actuales requiere un mínimo de 2 horas de estudio diario, que en estos momentos apenas tengo (el año que viene tendré algo más). E imagino que asignaturas más difíciles requerirán aún más.

Con algo de suerte, y contando con la segunda convocatoria, espero poder aprobar las 3 asignaturas de este año. Si no es el caso, seguramente tendré que replantarme muy seriamente los estudios.

martes, 3 de diciembre de 2019

Autoexplicando cosas

He intentado acabar desde la última entrada el tema 3 de Lenguaje, pero me he visto atascado durante una semana por lo menos con la demostración que acabo de explicar a continuación, y que no era capaz de seguir. Luego de mucho pensar y una pequeña ayuda, he llegado a esto.

También tenía problemas con la de la siguiente página, que comprobaré esta noche si se han aclarado.

Progreso mucho más lento de lo que esperaba... A día de hoy, firmaba por aprobar con cualquier nota una de las dos materias que tengo este trimestre, y por sacar la otra en septiembre. Y veremos... Seguramente para el año tenga que restringirme a un ritmo más modesto de una asignatura por trimestre.






































Como ya sabíamos que f(x) = f(x’) = y, y ahora hemos demostrado que x = x’, queda confirmado que f es una aplicación inyectiva. Como f es sobreyectiva e inyectiva, hemos demostrado que f es una aplicación biyectiva, el primer supuesto partiendo del segundo.

lunes, 25 de noviembre de 2019

Relaciones Lógicas (3)

He estado muy atascado con los ejercicios 3 y 4 (sobre todo el 4), ya que son del tipo que no se sigue de modo sencillo y claro a partir de los ejemplos del texto. El mayor problema en este último caso fue entender correctamente qué significaba el conjunto {0,1}^8, ya que durante mucho tiempo (como se puede ver el los ejercicios 'incorrectos' que subo de 4) pensé que eran 8 números de 8 dígitos cada uno, unos y ceros, en vez de un único número.

Otro problema importante lo tuve con el último apartado de ese ejercicio, al planteárseme una alternativa entre dos opciones 'o' que justificaban la relación. No tenía claro a cual de las dos atender, y/o a qué reducir la relación. Por lo que me ha aclarado una profesora, si cualquiera de las dos opciones tiene una propiedad, se puede decir que la relación entera tiene dicha propiedad:


Página 1, 2, 3, 4 y ejercicio 4 (rehecho).

jueves, 14 de noviembre de 2019

Relaciones lógicas (2)

Aquí van las versiones a limpio de los ejercicios 1 y 2. Los he hecho 'de nuevo' desde 0, aunque claramente me acordaba de las cosas, incluyendo los dos errores que cometí la primera vez en 1, cuando pensé que d) no era antisimétrico (porque no tenía un par (x,x) satisfaciendo xRy e yRx) y cuando (por un erro de cálculo) pensé que encontrara un contraejemplo demostrando que f) no era transitiva. A respecto de esta última relación, creo que encontré una prueba que es diferente a la de las soluciones del libro y válida.
En el ejercicio 2, los argumentos que uso a veces para justificar la respuesta son diferentes a los del libro; me queda pendiente leerlos con calma y ver que no haya contradicción (y que los entienda).




miércoles, 13 de noviembre de 2019

Relaciones Lógicas

En el comienzo del tema 3 de Lenguaje Matemático se habla sobre relaciones lógicas; aunque no se explicite, la impresión que me dan es que son una especie de precursores o de forma primitiva de las funciones matemáticas, simplemente vistiendo ropaje de teoría de conjuntos. Se explica que las relaciones pueden ser de 4 tipos (en mis propias palabras, intentando no consultar el libro).
Primero tenemos que asumir que R es una relación incluyendo pares (x,y) con x e y provenientes de, digamos, un conjunto U (habitualmente, ese conjunto sería R, el de los números reales, y los pares resultantes de la relación provenientes del producto RxR).

1) Reflexiva: una relación será reflexiva si para todo x perteneciente a U existe la relación xRx. Viéndolo bajo la forma de conjuntos, el conjunto R es reflexivo si contiene todos los pares (x,x) posibles a partir de los elementos de U. Un par de ejemplos, partiendo del conjunto U = {1,2,3,4}:

R = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,1), (3,3)} NO ES REFLEXIVO: le faltaría incluír el par (4,4).
R = {1,1), (1,3), (2,2), (3,3), (3,4)} SÍ ES REFLEXIVO: tiene todos los pares (x,x) posibles.

2) Simétrica: una relación será simétrica si para todo par x, y perteneciente a U, si existe la relación xRy, entonces existe también la relación yRx. Técnicamente, se puede plantear como la afirmación de que si un conjunto R es simétrico, entonces contendrá a su inverso como subconjunto. De nuevo, partiendo del conjunto U = {1,2,3,4}:

R = {(1,2), (2,1), (3,1)} NO ES SIMÉTRICO: le faltaría incluír el par (1,3).  
R = {(1,2), (2,1), (3,1), (1,3)} SÍ ES SIMÉTRICO. Para cada par xy del conjunto, existe un par yx. Nótese que no hace falta (como con la propiedad reflexiva) incluír todos los pares posibles del conjunto U; sólo para aquellos pares que están en R.

3) Antisimétrica: una relación será antisimétrica si para todo par x, y perteneciente a U, si hay algún caso en que xRy y yRx (no tiene porqué haberlos), necesariamente será porque x=y. No es posible que se de la situación con x e y diferentes. Técnicamente se plantea que la intersección de R y su recíproco serían un subconjunto del conjunto reflexivo (o sea, pares x,x). Partiendo del conjunto U = {1,2,3,4}:

R = {(1,2), (2,1), (3,1)} NO ES ANTISIMÉTRICO: ya que tenemos un caso por lo menos donde la intersección de R y su recíproco no es de la forma (x,x).
R = {(1,1), (1,3), (2,2), (2,1), (3,3)} SÍ ES ANTISIMÉTRICO, ya que los casos en que sí hai simetría xRy y yRx son aquellos en que los dos términos son iguales - (1,1) y (2,2).
R = {(1,3), (2,1), (1,4)} SÍ ES ANTISIMÉTRICO: no hay ningún par con simetrías, con lo que la intersección de R y su inverso es el conjunto vacío.

4) Transitiva: una relación será transitiva si para todo trío x,y,z, si xRy y yRz, se sigue entonces que xRz  (otra forma sería que R es el conjunto que incluye todas las composiciones de R con R tal que el resultado es un subconjunto de R). Partiendo del conjunto U = {1,2,3}
R = {(1,2), (2,3), (3,3)} NO ES TRANSITIVO. Si decidimos que x=1, y=2 y z=3, tenemos (1,2) y (2,3), pero no tenemos (como tendríamos que tener) (1,3).
R = {(1,2), (2,3), (1,3)} SÍ ES TRANSITIVO. Si decidimos lo mismo que en el caso previo, sólo tenemos un recorrido ternario: (1,2), (2,3), (1,3).

he hecho los ejercicios 1 y 2 de la unidad que trabajan relaciones lógicas. Seguramente los vuelva a hacer de nuevo 'a limpio' y los postee aquí, comentando los casos en que cometí errores.

domingo, 10 de noviembre de 2019

Matemática Discreta - ejercicios del tema 1.2

En general, os 5 ejercicios eran asequibles. En algunos casos, ni siquiera tuve que mirar atrás para ver cómo se hacían por el ejemplo del libro. En cambio, el 3 me atascó durante día y pico, y tuve que buscar en la red alguna pista, ya que al contrario que otros, no tenía un ejemplo directo en el que modelarse en la sección 1.2. En el 4 conseguí el resultado correcto, pero pensé que tenía que consultar los 29 primeros primos, en vez de los 29 primeros números, así que hice mucho trabajo redundante. El 5 es fácil siguiendo el modelo pero haciéndolo abstracto; la primera vez tuve que ir viendo paso a paso el ejemplo del libro, y 'traduciéndolo' a este caso. La segunda vez lo hice automáticamente.