En la página 18 de libro de texto, para ejemplificar una prueba empleando leyes de transposición, se proporciona el siguiente ejemplo:
Me ha costado entenderla, así que he procurado estudiarla y desmenuzarla con ayuda de algunos textos virtuales. La siguiente es mi 'autoexplicación' detallada de la prueba, llenando los huecos que no se explicitan en el libro.
1) PRIMER PASO: ACLARANDO LA DEFINICIÓN DE LÍMITE
Partamos de una sucesión de números reales. Una que automáticamente viene a la mente sería el conjunto N de los números naturales (que es subconjunto de los reales): 1, 2, 3, 4… Esta sucesión es divergente (no se acerca a ningún número concreto para valores grandes).
Una sucesión convergente sería, por ejemplo, la inversa a la anterior, 1/x para x mayor o igual a 1: 1, ½, 1/3, ¼, … Cada término nos va aproximando más y más a 0. La sucesión es convergente. Otro ejemplo, por ejemplo, sería (para x mayor o igual a 0) la sucesión formada por los sucesivos valores de (x+3)/(x+1), que converge en 1.
Intuitivamente, el concepto de límite, como decimos, implica que con valores cada vez más altos de la sucesión, nos vamos aproximando más y más al número que es el límite (llamémosle r). También intuitivamente, parecería obvio que una sucesión no puede tener dos límites (o por lo menos, no muy diferentes), ya que si los valores de la sucesión se están aproximando a uno, ¿cómo podrían al mismo tiempo desdoblarse y estar aproximándose al otro?.
Aplicando una definición algo más rigurosa como la arriba expuesta, se nos aclaran los siguiente elementos necesarios para que una sucesión converja en un límite:
a) necesitamos partir de una sucesión de números reales, {xn}, como los ejemplos que he dado.
b) necesitaremos también para la definición hacer uso de otros números: r (que es el número ‘limite’ al que se aproximan los sucesivos términos de la sucesión), n (es el subíndice de xn, y nos indica en cual de los números de la sucesión estamos; en mi primer ejemplo de sucesión , x2 = 2), ε (que es un número arbitrario, el que deseemos, siempre que sea mayor que 0) y nε (que es un número de la sucesión {xn}, uno de los ‘enes’ a partir del cual se va a producir algo interesante).
c) Pasamos a la definición: la sucesión de números reales, {xn} convergerá en un número límite, r siempre y cuando para cualquier número ε mayor que 0 que escojamos exista otro número, nε que sea natural y que cumpla que si calculamos el valor absoluto de r menos cualquiera de los valores de la sucesión {xn}, el resultado será menor que ε, a condición de que empecemos a contar a partir de un número determinado de la sucesión, nε. O en su forma rigurosa:
|r - xn| < ε para todo n ∈ N tal que n > nε
En ‘cristiano’, la idea es que para comprobar si una sucesión converge a cierto límite r, lo primero que hacemos es pensar en ‘a qué distancia mínima’ queremos que los números de la sucesión estén de r. Eso es lo que encapsula ε, y por eso puede ser un número arbitrario mayor que 0. Cuando cogemos el valor absoluto de r menos cualquier valor {xn} y comprobamos que es menor que ε, lo que estamos haciendo es ver que cualquier valor de {xn} que restemos a r es tan pequeño (y con más valores de la sucesión, se irá haciendo más y más pequeño aún) que siempre estaremos a menos de ε de distancia de r.
Por supuesto, tenemos que tener en cuenta que habrá un valor especial de la sucesión, nε, a partir del cual es cuando empezamos a estar ‘lo suficientemente cerca’ de r, y se cumple lo que explicamos en el último párrafo.
Veamos un ejemplo usando la segunda de las sucesiones que expuse: 1, ½,1/3, ¼… Sabemos que su límite, r = 0. Queremos hallar todos los valores de la sucesión que estén a menos de cierta distancia ε de 0. Arbitrariamente, decidimos que épsilon va a ser 0,01.
¿Cuál va a ser nε, el subíndice a partir del cualtodos los miembros de la sucesión están a una distancia menor que 0,01 de 0? Podemos ir rellenando algunos valores para n e ir viendo a cuánto nos sale el valor absoluto de r menos xn, y seguir hasta encontrar el primero que es menor que 0,01. Al ser n número natural, no es demasiado difícil.
¿x5? |0-1/5| = 0,2 NO, demasiado alto
¿x10? |0-1/10| = 0,1 NO, demasiado alto
¿x100? |0-1/100| = 0,01 NO. Nos valdrá a partir del siguiente, que será más bajo (no igual) que 0,01.
x101= |0-1/101| = c. 0.0099. SÍ.
Por lo tanto, para este caso, nuestro nε es 101. Cualquier valor posterior de la sucesión estará siempre a una distancia de menos de 0,01 de 0.
2) SEGUNDO PASO: SUPONER QUE HAY MÁS DE UN LÍMITE
La afirmación inicial de la que partíamos era del estilo p ⇒ q (“Si existe un límite a una sucesión de números reales, entonces ese límite es único”). La prueba para confirmar el enunciado será por contradicción, partiendo de ¬q para llegar por implicación a ¬p (¬q ⇒ ¬p; Si no existe un límite único a una sucesión de números reales, entonces el límite no existe”).
Empezamos, pues suponiendo que sí existe otro límite, al que llamamos s. Dado que es también un límite de la sucesión xn, tendrá que cumplir con los mismos requisitos, a saber:
|s - xn| < ε para todo n ∈ N tal que n > nε
Al mismo tiempo, asumimos que este límite s es diferentedel límite anterior, r.
3) TERCER PASO: FIJANDO ÉPSILON
Decíamos con anterioridad que el valor de ε es arbitrario, podemos escoger el que deseemos. El ‘truco’ de esta prueba consistirá en escoger un valor de ε que resulte luego útil para conseguir llegar a una contradicción.
El valor escogido es (|r - s| / 2). ¿Qué podemos decir de este valor sólo por su forma?
No sabemos si la distancia de r y s es grande o pequeña, si uno es positivo, negativo… Pero sí sabemos que el valor absoluto de su resta será un número, el que sea, positivo. Si luego se divide entre 2, será la mitad de ese número positivo, aunque seguirá sin cambiar su naturaleza.
Al haber fijado este ε también asumimos la existencia de un nε, que cumplirá con el requisito que poníamos arriba para r, ahora para s: |s - xn| < ε para todo n ∈ N tal que n > nε.
CUARTO PASO: JUGANDO CON IGUALDADES Y DESIGUALDADES
Partimos del primer valor absoluto que teníamos, el que era válido para r, con su desigualdad:
|r - xn| < ε
Una primera manipulación algebraica que podemos hacer al valor absoluto es sumarle y restarle s. Esto puede parecer gratuito, pero demostrará su utilidad en breve, y es perfectamente aceptable por las leyes básica del álgebra; si a = b, entonces a +1 -1 = b.
|r - xn| = |r –s +s - xn|
Vamos a ir trabajando con la segunda expresión de valor absoluto. Aquí entra en juego algo que podemos hacer empleando la llamada desigualdad triangular, a saber:
|a| + |b| ≥ |a + b|
No vamos a proceder a explicar la demostración rigurosa de esto aquí, pero debería resultar fácil de ver. Imaginando los 4 supuestos posibles sobre el valor positivo y/o negativo de a y de b, resulta que si a y b son ambos positivos o negativos, el valor absoluto de su suma será IGUAL al de la suma por separado de sus valores absolutos. Por el contrario, si uno es positivo y el otro negativo, su suma y toma de valor absoluto será MENOR al de la suma por separado de sus valores absolutos.
Hay una variante(o añadido) de la desigualdad triangularque es la que nos será útil aquí, y que dice que |a + b| ≥ |a| - |b|. Si decidimos que a = (r –s) y b = (s - xn) = b, tendríamos que
|r –s+ s - xn| ≥ |r –s| -|s - xn|
QUINTO PASO: VOLVIENDO AL ÉPSILON
En el tercer paso establecíamos que
ε = |r - s| / 2 y que |s - xn| < ε
Podemos aprovechar estos dos datos para conectar la desigualdad anterior con otro segmento de desigualdad; si |s - xn| es menor que épsilon, entonces si le restamos a |r –s| esta cantidad (su valor absoluto), tendremos un resultado MÁS GRANDE que si le restásemos a |s - xn| épsilon. Y ya que hemos decidido que el valor de épsilon es |r - s| / 2, podremos decir que
|r –s+ s - xn| ≥ |r –s| -|s - xn| ≥ |r –s| - (|r –s|/2)
Una simple operación de suma algebraica nos da que la última parta añadida es igual a (|r –s|/2), o sea, ε.
SEXTO PASO: VIENDO TODO JUNTO, Y LA CONTRADICCIÓN
Encadenando todas las desigualdades que hemos ido creando, tenemos que:
Podemos ignorar la desigualdad del medio, y nos quedaría que
|r - xn| ≥ ε
Y aquí tenemos la contradicción, ya que nuestro punto de partida había sido que
|r - xn| < ε
