Para cada entero n > 0 existen n números compuestos positivos y consecutivos

Seguimos a paso de caracol en el libro de Matemática Discreta. Esta vuelta lo que me ha atascado ha sido la siguiente demostración, que voy a intentar explicarme a mí mismo sin consultarla.

En páginas anteriores, el libro ha ido desmenuzando algunos datos sobre números primos, como que hay un número infinito de éstos, o que hay infinitos números primos con ciertas propiedades (como estar separados entre sí ciertas distancias). La siguiente demostración es un poco 'al revés': consiste en demostrar que aunque los primos son infinitos, existen bloques de números consecutivos sin primos tan grandes como se desee. De hecho, el tamaño de estos bloques ininterrumpidos de números compuestos puede ser el de cualquier número natural: 1, 2, 3, 100, 1000, 1000000... .  La demostración, además, genera una 'fórmula' que permite no sólo demostrar que existen, sino producir un ejemplo (es una prueba 'constructiva').

El primer paso consiste en utilizar factoriales (n!), que tienen la agradable propiedad de que cada uno contiene a TODOS los números anteriores a el en su factorización. Así, 3! = 3x2x1, y 6! = 6x5x4x3x2x1.

Para la prueba necesitamos que nos números sean consecutivos, así que pensemos en la siguiente serie, con n ≥ 1:

(n+1)! + 2, (n+1)!+3, (n+1)!+4 ... (n+1)+n+1

Es evidente que los números que genera esta serie son consecutivos (y positivos). ¿Cómo podemos saber si son compuestos ( = divisibles por algún número diferente de 1 y de sí mismos)?

Cojamos, por ejemplo, n=3. Entonces la serie se vuelve:

(4)! + 2, (4)!+3, (4!)+4

Sabemos que 4! = 4x3x2x1. Entonces 2 divide a 4! y (evidentemente), 2 se divide a sí mismo, así que 2 divide a (4)! + 2, que es un número compuesto. El siguiente, (4)!+3, es claramente el sucesor del anterior; 3 lo divide, e igualmente se divide a sí mismo. Igualmente, el siguiente, (4!)+4 es sucesor del anterior, y sus dos sumandos son divisibles por cuatro. Si los calculamos, hemos generado tres números consecutivos, 26, 27 y 28, que son todos compuestos (el siguiente, 29, es primo).

Es trivial constatar que la fórmula es ampliable infinitamente, y que funcionará con n más grandes por el mismo motivo (el factorial siempre incluirá entre sus factores a todos los números anteriores, y nos valdrá hasta (n+1)! + n + 1 para cualquier n > 1; y todos los sumandos acompañantes y menores que (n+1) serán divisibles por sí mismos). Si n = 3 nos generaba 3 compuestos consecutivos, n = 1 nos genera 1 (4), n = 2 nos genera 2 (8, 9), 4 nos genera 4 (120, 121, 122, 123, 124) y así sucesivamente.

Incidentalmente, a veces el siguiente(s) en la secuencia también son compuestos (en el último caso, 125 y 126 lo son), pero la fórmula sólo nos los garantiza para el n escogido.

Este demostración me tuvo día y medio atascado; sospecho que porque esperaba inconscientemente un mismo divisor para todos ellos.

Enzarzado

Seguimos avanzando lentamente - mucho más lentamente de lo debiera, pero todas las cosas me están llevando muchísimo tiempo.

Estoy con los ejercicios del tema 2 del libro de Lenguaje Matemático, donde voy por el 10 (de 24). Varios me han dado importantes quebraderos de cabeza que comentaré cuando suba las hojas con las respuestas. 

En lo que toca a Matemática Discreta, tengo el libro parado luego de acabar la sección 1.1 hasta que acabe los ejercicios de Lenguaje. Para ir haciendo algo, he estado mirando los vídeos con ejercicios resueltos que hay en la plataforma. El primero, que ejemplifica el uso de Algoritmo de Euclides, me resultó muy fácil y me ha permitido asimilar la mecánica de esta tarea, que luego realicé con éxito en el libro de texto. El segundo vídeo incluye un ejercicio bastante difícil y sin ejemplo equivalente en el libro, empleando aritmética modular para descomponer un número en otros tres. No sería capaz de hacerlo yo sólo, pero he podido seguir los pasos de la descripción, y viendo el vídeo un par de veces más creo que sí podría afrontar este tipo de ejercicio. El tercer vídeo ponía un ejercicio que emplea aritmética modular y divisibilidad, y me resultó bastante fácil. Aquí cuelgo las notas.

El límite de una sucesión de números reales, si existe, es único

En la página 18 de libro de texto, para ejemplificar una prueba empleando leyes de transposición, se proporciona el siguiente ejemplo:

Me ha costado entenderla, así que he procurado estudiarla y desmenuzarla con ayuda de algunos textos virtuales. La siguiente es mi 'autoexplicación' detallada de la prueba, llenando los huecos que no se explicitan en el libro.

1) PRIMER PASO: ACLARANDO LA DEFINICIÓN DE LÍMITE

Partamos de una sucesión de números reales. Una que automáticamente viene a la mente sería el conjunto N de los números naturales (que es subconjunto de los reales): 1, 2, 3, 4… Esta sucesión es divergente (no se acerca a ningún número concreto para valores grandes).

Una sucesión convergente sería, por ejemplo, la inversa a la anterior, 1/x para x mayor o igual a 1: 1, ½, 1/3, ¼, …  Cada término nos va aproximando más y más a 0. La sucesión es convergente. Otro ejemplo, por ejemplo, sería (para x mayor o igual a 0) la sucesión formada por los sucesivos valores de (x+3)/(x+1), que converge en 1.

Intuitivamente, el concepto de límite, como decimos, implica que con valores cada vez más altos de la sucesión, nos vamos aproximando más y más al número que es el límite (llamémosle r). También intuitivamente, parecería obvio que una sucesión no puede tener dos límites (o por lo menos, no muy diferentes), ya que si los valores de la sucesión se están aproximando a uno, ¿cómo podrían al mismo tiempo desdoblarse y estar aproximándose al otro?.

Aplicando una definición algo más rigurosa como la arriba expuesta, se nos aclaran los siguiente elementos necesarios para que una sucesión converja en un límite:

a) necesitamos partir de una sucesión de números reales, {x_n}, como los ejemplos que he dado.

b) necesitaremos también para la definición hacer uso de otros números: r (que es el número ‘limite’ al que se aproximan los sucesivos términos de la sucesión), n (es el subíndice de x_n, y nos indica en cual de los números de la sucesión estamos; en mi primer ejemplo de sucesión , x₂ = 2), ε (que es un número arbitrario, el que deseemos, siempre que sea mayor que 0) y n_ε (que es un número de la sucesión {x_n}, uno de los ‘enes’ a partir del cual se va a producir algo interesante).

c) Pasamos a la definición: la sucesión de números reales, {x_n} convergerá en un número límite, r siempre y cuando para cualquier número ε mayor que 0 que escojamos exista otro número, n_ε que sea natural y que cumpla que si calculamos el valor absoluto de r menos cualquiera de los valores de la sucesión {x_n}, el resultado será menor que ε, a condición de que empecemos a contar a partir de un número determinado de la sucesión, n_ε. O en su forma rigurosa:

|r - x_n| < ε para todo n ∈ N tal que n > n_ε

En ‘cristiano’, la idea es que para comprobar si una sucesión converge a cierto límite r, lo primero que hacemos es pensar en ‘a qué distancia mínima’ queremos que los números de la sucesión estén de r. Eso es lo que encapsula ε, y por eso puede ser un número arbitrario mayor que 0. Cuando cogemos el valor absoluto de r menos cualquier valor {x_n} y comprobamos que es menor que ε, lo que estamos haciendo es ver que cualquier valor de {x_n} que restemos a r es tan pequeño (y con más valores de la sucesión, se irá haciendo más y más pequeño aún) que siempre estaremos a menos de ε de distancia de r.

Por supuesto, tenemos que tener en cuenta que habrá un valor especial de la sucesión, n_ε, a partir del cual es cuando empezamos a estar ‘lo suficientemente cerca’ de r, y se cumple lo que explicamos en el último párrafo.

Veamos un ejemplo usando la segunda de las sucesiones que expuse: 1, ½,1/3, ¼… Sabemos que su límite, r = 0. Queremos hallar todos los valores de la sucesión que estén a menos de cierta distancia ε de 0. Arbitrariamente, decidimos que épsilon va a ser 0,01.

¿Cuál va a ser n_ε, el subíndice a partir del cualtodos los miembros de la sucesión están a una distancia menor que 0,01 de 0? Podemos ir rellenando algunos valores para n e ir viendo a cuánto nos sale el valor absoluto de r menos x_n, y seguir hasta encontrar el primero que es menor que 0,01. Al ser n número natural, no es demasiado difícil.

¿x₅? |0-1/5| = 0,2 NO, demasiado alto

¿x₁₀? |0-1/10| = 0,1 NO, demasiado alto

¿x₁₀₀? |0-1/100| = 0,01 NO. Nos valdrá a partir del siguiente, que será más bajo (no igual) que 0,01.

x₁₀₁= |0-1/101| = c. 0.0099. SÍ.

Por lo tanto, para este caso, nuestro n_ε es 101. Cualquier valor posterior de la sucesión estará siempre a una distancia de menos de 0,01 de 0.

2) SEGUNDO PASO: SUPONER QUE HAY MÁS DE UN LÍMITE 

La afirmación inicial de la que partíamos era del estilo p ⇒ q (“Si existe un límite a una sucesión de números reales, entonces ese límite es único”). La prueba para confirmar el enunciado será por contradicción, partiendo de ¬q para llegar por implicación a ¬p (¬q ⇒ ¬p; Si no existe un límite único a una sucesión de números reales, entonces el límite no existe”).

Empezamos, pues suponiendo que sí existe otro límite, al que llamamos s. Dado que es también un límite de la sucesión x_n, tendrá que cumplir con los mismos requisitos, a saber:

|s - x_n| < ε para todo n ∈ N tal que n > n_ε

Al mismo tiempo, asumimos que este límite s es diferentedel límite anterior, r.

3) TERCER PASO: FIJANDO ÉPSILON

Decíamos con anterioridad que el valor de ε es arbitrario, podemos escoger el que deseemos. El ‘truco’ de esta prueba consistirá en escoger un valor de ε que resulte luego útil para conseguir llegar a una contradicción.

 El valor escogido es (|r - s| / 2). ¿Qué podemos decir de este valor sólo por su forma?

No sabemos si la distancia de r y s es grande o pequeña, si uno es positivo, negativo… Pero sí sabemos que el valor absoluto de su resta será un número, el que sea, positivo. Si luego se divide entre 2, será la mitad de ese número positivo, aunque seguirá sin cambiar su naturaleza.

Al haber fijado este ε también asumimos la existencia de un n_ε, que cumplirá con el requisito que poníamos arriba para r, ahora para s: |s - x_n| < ε para todo n ∈ N tal que n > n_ε.

CUARTO PASO: JUGANDO CON IGUALDADES Y DESIGUALDADES

Partimos del primer valor absoluto que teníamos, el que era válido para r, con su desigualdad:

|r - x_n| < ε

Una primera manipulación algebraica que podemos hacer al valor absoluto es sumarle y restarle s. Esto puede parecer gratuito, pero demostrará su utilidad en breve, y es perfectamente aceptable por las leyes básica del álgebra; si a = b, entonces a +1 -1 = b.

|r - x_n| = |r –s +s - x_n|

Vamos a ir trabajando con la segunda expresión de valor absoluto. Aquí entra en juego algo que podemos hacer empleando la llamada desigualdad triangular, a saber:

|a|  + |b| ≥ |a + b|

No vamos a proceder a explicar la demostración rigurosa de esto aquí, pero debería resultar fácil de ver. Imaginando los 4 supuestos posibles sobre el valor positivo y/o negativo de a y de b, resulta que si a y b son ambos positivos o negativos, el valor absoluto de su suma será IGUAL al de la suma por separado de sus valores absolutos. Por el contrario, si uno es positivo y el otro negativo, su suma y toma de valor absoluto será MENOR al de la suma por separado de sus valores absolutos.

Hay una variante(o añadido) de la desigualdad triangularque es la que nos será útil aquí, y que dice que |a + b| ≥ |a| - |b|. Si decidimos que a = (r –s) y  b = (s - x_n) = b, tendríamos que

|r –s+ s - x_n| ≥ |r –s| -|s - x_n|

QUINTO PASO: VOLVIENDO AL ÉPSILON

En el tercer paso establecíamos que 

ε = |r - s| / 2  y que |s - x_n| < ε

Podemos aprovechar estos dos datos para conectar la desigualdad anterior con otro segmento de desigualdad; si |s - x_n| es menor que épsilon, entonces si le restamos a |r –s| esta cantidad (su valor absoluto), tendremos un resultado MÁS GRANDE que si le restásemos a |s - x_n| épsilon. Y ya que hemos decidido que el valor de épsilon es |r - s| / 2, podremos decir que 

|r –s+ s - x_n| ≥ |r –s| -|s - x_n| ≥ |r –s| - (|r –s|/2)

Una simple operación de suma algebraica nos da que la última parta añadida es igual a (|r –s|/2), o sea, ε.

SEXTO PASO: VIENDO TODO JUNTO, Y LA CONTRADICCIÓN

Encadenando todas las desigualdades que hemos ido creando, tenemos que:

|r - x_n| ≥ |r –s| -|s - x_n| ≥ ε

Podemos ignorar la desigualdad del medio, y nos quedaría que

|r - x_n| ≥ ε

Y aquí tenemos la contradicción, ya que nuestro punto de partida había sido que

|r - x_n| < ε

¿Cuadrado par implica base par?

En la página 17 del tema 1 de libro Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números se da una prueba de que √2 es un número irracional. Se trata de una prueba por reducción al absurdo, con el fín de ejemplificar una demostración con esta ley lógica.

La prueba es bastante clásica y ya la he visto y seguido en otros libros divulgativos sobre la materia, pero dentro de sí incluye la aceptación como evidente de algo que no me lo resultaba: si el cuadrado de un número es par, también lo es el número de partida.

Luego de buscar en internet y de meditar sobre el tema, una justificación de esto me parece que sería así:

1) Todo número natural N (en adelante, hablaremos casi siempre sólo de 'números', pero nos referimos a los miembros de este conjunto) presenta la propiedad de ser par o impar (de modo excluyente).

2) Vamos a coger el subconjunto de los números pares. Los elementos de tal conjunto pueden representarse algebraicamente como 2a, donde a es un número cualquiera. Todos los números naturales pares son mútiplos de y divisibles por 2.

3) ¿Qué pasa si elevamos 2a al cuadrado? El resultado será 4a^2. Es evidente que este cuadrado será siempre un número par, al verse multiplicado por 4. Con esto hemos demostrado que si un número par tiene un cuadrado en N, este cuadrado será siempre un número par.

4) ¿Qué pasa si trabajamos en cambio con el subconjunto de los números impares? Los elementos de este conjunto pueden representarse algebraicamente como (2a+1) o (2a-1) -las dos fórmulas son análogas, y sólo varían en el número de partida (0 o 1)-, donde a es un número natural cualquiera. ¿Qué pasa si elevamos esto al cuadrado?. Pues obtenemos 4a^2+4a+1. Se puede constatar fácilmente que los dos elementos con a son números pares los dos, y al sumarles uno, el resultado siempre será impar. Con esto hemos demostrado que si un número impar tiene un cuadrado en N, este cuadrado será siempre un número impar.

5) Ahora sólo queda darle la vuelta a la tortilla. Si en vez de un número cualquiera tenemos su cuadrado, y sabemos que este cuadrado es par, por lo que hemos explicado más arriba, es inevitable que el número del que es un cuadrado sea también par.