Para cada entero n > 0 existen n números compuestos positivos y consecutivos

Seguimos a paso de caracol en el libro de Matemática Discreta. Esta vuelta lo que me ha atascado ha sido la siguiente demostración, que voy a intentar explicarme a mí mismo sin consultarla.

En páginas anteriores, el libro ha ido desmenuzando algunos datos sobre números primos, como que hay un número infinito de éstos, o que hay infinitos números primos con ciertas propiedades (como estar separados entre sí ciertas distancias). La siguiente demostración es un poco 'al revés': consiste en demostrar que aunque los primos son infinitos, existen bloques de números consecutivos sin primos tan grandes como se desee. De hecho, el tamaño de estos bloques ininterrumpidos de números compuestos puede ser el de cualquier número natural: 1, 2, 3, 100, 1000, 1000000... .  La demostración, además, genera una 'fórmula' que permite no sólo demostrar que existen, sino producir un ejemplo (es una prueba 'constructiva').

El primer paso consiste en utilizar factoriales (n!), que tienen la agradable propiedad de que cada uno contiene a TODOS los números anteriores a el en su factorización. Así, 3! = 3x2x1, y 6! = 6x5x4x3x2x1.

Para la prueba necesitamos que nos números sean consecutivos, así que pensemos en la siguiente serie, con n ≥ 1:

(n+1)! + 2, (n+1)!+3, (n+1)!+4 ... (n+1)+n+1

Es evidente que los números que genera esta serie son consecutivos (y positivos). ¿Cómo podemos saber si son compuestos ( = divisibles por algún número diferente de 1 y de sí mismos)?

Cojamos, por ejemplo, n=3. Entonces la serie se vuelve:

(4)! + 2, (4)!+3, (4!)+4

Sabemos que 4! = 4x3x2x1. Entonces 2 divide a 4! y (evidentemente), 2 se divide a sí mismo, así que 2 divide a (4)! + 2, que es un número compuesto. El siguiente, (4)!+3, es claramente el sucesor del anterior; 3 lo divide, e igualmente se divide a sí mismo. Igualmente, el siguiente, (4!)+4 es sucesor del anterior, y sus dos sumandos son divisibles por cuatro. Si los calculamos, hemos generado tres números consecutivos, 26, 27 y 28, que son todos compuestos (el siguiente, 29, es primo).

Es trivial constatar que la fórmula es ampliable infinitamente, y que funcionará con n más grandes por el mismo motivo (el factorial siempre incluirá entre sus factores a todos los números anteriores, y nos valdrá hasta (n+1)! + n + 1 para cualquier n > 1; y todos los sumandos acompañantes y menores que (n+1) serán divisibles por sí mismos). Si n = 3 nos generaba 3 compuestos consecutivos, n = 1 nos genera 1 (4), n = 2 nos genera 2 (8, 9), 4 nos genera 4 (120, 121, 122, 123, 124) y así sucesivamente.

Incidentalmente, a veces el siguiente(s) en la secuencia también son compuestos (en el último caso, 125 y 126 lo son), pero la fórmula sólo nos los garantiza para el n escogido.

Este demostración me tuvo día y medio atascado; sospecho que porque esperaba inconscientemente un mismo divisor para todos ellos.