Vuelvo a pelear con el libro de Matemática Discreta, y avanzando a paso de caracol. En una reciente videoconferencia introduciendo el curso, el profesor (y uno de los autores del volumen) Emilio Bujalance deja claro que hay que avanzar lenta y metódicamente con el libro (no es una lectura como la de una novela; hay que pararse, pensar, intentar realmente entender lo que se lee), pero temo que con este grado de dificultad, necesitaría todo el curso y por lo menos 2-3 horas diarias para poder completarlo. Ya veremos...
Hoy me proponía avanzar muy mucho en la sección 1.2 dedicada a los números primos, pero ya entre las primeras páginas, me topé con dificultades con un corolario del Lema de Euclides que me llevó un par de horas y algunas consultas poder comprender. Voy a intentar explicármelo con mis propias palabras como posible recordatorio para el futuro y para memorizarlo mejor.
La lema (¿el lema? ¿Cual es el género de esta palabra?), inserta en en contexto de temas de primalidad y co-primalidad, viene a formular lo siguiente:
-Dados 3 números enteros, a, b, c...
-Si a y c son coprimos entre sí...
-Y c divide al producto de bc...
ENTONCES, c necesariamente divide a b.
A priori, esto parece de sentido común (seguramente porque estoy aplicando el conocimiento informal de estudiante, frente a lo que se explicará rigurosamente más adelante en el libro, a la factorización de números en sus constituyentes primos). El libro lo demuestra de un modo bastante sencillo: si a y c son coprimos (=su mayor divisor común es 1), luego por la Identidad de Bezout, pueden representarse de la forma ax + cy = 1. Si multiplicamos ambos lados por b, tenemos bax + bcy = b. Es obvio que c divide a bcy; por el tercer punto que pusimos arriba, como c divide a ab, dividirá a bax; si divide a cada uno de los sumandos de la izquierda, tiene que poder dividir la igualdad de la derecha, y c divide a b.
(Incidentalmente, conviene dejar aclaradas las definiciones de primalidad y coprimalidad: un número primo es un entero mayor que 1 que sólo es divisible por sí mismo y por 1; números coprimos son aquellos que, sean o no primos, no comparten divisores comunes más allá del 1).
Los problemas me vinieron con un coralario de esta lema. El corolario establecía la siguiente identidad:
-Sea p un número entero mayor que 1...
-Si para TODAS las parejas de números enteros a, b cuyo producto, ab es divisible por p...
-P divide a uno (o a ambos) factores, esto es lo mismo que decir que...
ENTONCES p es un número primo (de hecho, esta puede ser una definición alternativa de número primo).
El problema que tuve fue básicamente que no percibía con claridad que esta relación entre p, a y b sólo era válida para TODAS las parejas. En efecto, es fácil topar números p mayores que 1 que dividen a un producto de números y a cada uno de los factores sin que p sea primo (por ejemplo, p = 4, a = 12, c = 16), pero si tenemos que tener en cuenta la totalidad de parejas a y b cuyo producto es divisible por p, entonces es fácil encontrar parejas donde este p no podría dividir a los factores: los casos en que los factores son menores que p. En nuestro ejemplo, p = 4, a = 2, b = 2. Si p es primo esto no pasará, porque tendremos al primo entre los factores (abierta o soterradamente) de a y/o de b).
El segundo corolario era más sencillo, y simplemente expandía esta regra de dos números, a y b, a una serie tan extensa como se quiera.
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