¿Cuadrado par implica base par?

En la página 17 del tema 1 de libro Lenguaje Matemático, Conjuntos y Números se da una prueba de que √2 es un número irracional. Se trata de una prueba por reducción al absurdo, con el fín de ejemplificar una demostración con esta ley lógica.

La prueba es bastante clásica y ya la he visto y seguido en otros libros divulgativos sobre la materia, pero dentro de sí incluye la aceptación como evidente de algo que no me lo resultaba: si el cuadrado de un número es par, también lo es el número de partida.

Luego de buscar en internet y de meditar sobre el tema, una justificación de esto me parece que sería así:

1) Todo número natural N (en adelante, hablaremos casi siempre sólo de 'números', pero nos referimos a los miembros de este conjunto) presenta la propiedad de ser par o impar (de modo excluyente).

2) Vamos a coger el subconjunto de los números pares. Los elementos de tal conjunto pueden representarse algebraicamente como 2a, donde a es un número cualquiera. Todos los números naturales pares son mútiplos de y divisibles por 2.

3) ¿Qué pasa si elevamos 2a al cuadrado? El resultado será 4a^2. Es evidente que este cuadrado será siempre un número par, al verse multiplicado por 4. Con esto hemos demostrado que si un número par tiene un cuadrado en N, este cuadrado será siempre un número par.

4) ¿Qué pasa si trabajamos en cambio con el subconjunto de los números impares? Los elementos de este conjunto pueden representarse algebraicamente como (2a+1) o (2a-1) -las dos fórmulas son análogas, y sólo varían en el número de partida (0 o 1)-, donde a es un número natural cualquiera. ¿Qué pasa si elevamos esto al cuadrado?. Pues obtenemos 4a^2+4a+1. Se puede constatar fácilmente que los dos elementos con a son números pares los dos, y al sumarles uno, el resultado siempre será impar. Con esto hemos demostrado que si un número impar tiene un cuadrado en N, este cuadrado será siempre un número impar.

5) Ahora sólo queda darle la vuelta a la tortilla. Si en vez de un número cualquiera tenemos su cuadrado, y sabemos que este cuadrado es par, por lo que hemos explicado más arriba, es inevitable que el número del que es un cuadrado sea también par.