Como creo que ya he comentado, el libro de Matemática Discreta es muy denso y muy difícil, siguiendo el patrón de los libros de matemática avanzada (Descripción, Propiedades, Demostración, Corolarios, Ejemplos). Dado que muchos pasos menores y/o intermedios no se especifican, estoy intentado autoexplicármelos en detalle mediante notas.
Aquí van dos de las cosas que me he autoexplicado. Una de ellas se refiere a valores absolutos. Lo que hay que demostrar es que |a| ≤ b si y sólo si a ≤ b y -a ≤ b (ver imagen adjunta).
El siguiente (en este caso lo trabajé en documento doc) es el algoritmo de la división, que va así:
Nos son dados los siguientes 4 números, con las siguientes propiedades:
a ∈Z
b ∈N
q ∈Z
r ∈Z
Afirmamos lo siguiente: que a = bq + rcon 0 ≤ r < b, y que q y r son únicos.
¿Qué quiere decir esta afirmación? Pues que cualquier número entero es descomponible en otros dos números, uno natural (1, 2, 3…) multiplicado por otro entero, y produciendo también un resto que puede ir desde 0 hasta b-1.
Se dice que q y r son únicos en el sentido de que si fijamos unos a y b concretos (por ejemplo, a=12 y b=6, entonces sólo un número puede ser q (2) y sólo un número puede ser r (0).
¿Cómo lo demostramos?
PASO 1: partimos de los 4 números que hemos escogido. Vamos a acotar algo más sus propiedades, a mayores de indicar a qué clase de números pertenecen. Vamos a decidir que en la expresión bq, q sea el mayor múltiplo de b que sea menor o igual que a. Por ejemplo, en el ejemplo anterior, si a es 12 y b 6, ¿cual es el mayor múltiplo de 6 que se aproxima, o iguala 12, sin pasarlo? 6x1 = 6; 6x2 = 12. Es 2.
Otro ejemplo, para a=120 y b = 7. Por tanteo, probamos con 12, y nos sale 7x12= 84, muy bajo. Con 15 nos sale 7x15= 105; Con 17 nos sale 7x17 = 119. Es 17.
Por definición, es obvio que bq ≤ a < b(q+1). La parte de b(q+1) deriva de la definición; si bq es el mayor múltiplo igual o menor que a, entonces si añadimos 1 a q generamos otro número, (q+1), que va a ser más grande que a (en el último ejemplo previo, 7 x 18, por ejemplo, es 126, por encima de 120).
PASO 2: En la desigualdad anterior, vamos a restar bq a cada uno de sus elementos:
bq –bq ≤ a –bq < b(q+1) –bq
Simplificando, nos queda que
0 ≤ a –bq < bq + b – bq
0 ≤ a –bq < b
Volviendo a la expresión algebraica de la que queríamos partir, a = bq + r, una sencilla operación algebraica la transforma en r = a – bq. Sustituyendo en la desigualdad previa, resulta que
0 ≤ r < b
Con lo cual hemos demostrado que se satisfacen parte de las condiciones iniciales.
PASO 3: Ahora nos toca demostrar la unicidad de q y r. Por la definición de la división en números enteros y por lo que acabamos de ver, sabemos que a = bq + r. Vamos a imaginar que la igualdad puede cumplirse con qsy rsdiferentes; o sea:
a = bq1+ r1= bq2+ r2, r1 ≠r2
Manipulando algebraicamente la igualdad bq1+ r1= bq2+ r2, r1 podemos poner las bqsen un lado y las rsen el otro:
r1- r2 = bq2 – bq1
Y factorizamos el b común de la derecha y tenemos
r1- r2 = b(q2 – q1)
El producto de la derecha es interesante, porque por la definición de la división, sabemos que b | (r1- r2). Por la quinta propiedadde valores absolutos, sabemos que si a ≠0, b ≠0 y a | b, entonces |a| ≤ |b|. Aplicándolo a las variables con las que estamos trabajando, tendríamos que |b| ≤ |r1- r2 |
Por definición, sabemos que r tiene que ser 0 ≤ r < b. En este caso suponíamos la existencia de dos rsno iguales. Cada una de ellas tendrá que cumplir con la misma propiedad, a saber:
0 ≤ r1< b 0 ≤ r2< b
Pero si estas dos desigualdades son ciertas, tenemos la situación de que |b| (que es igual a b, ya que b ∉ N) es mayor que el valor absoluto de r1- r2. O sea:
|b| > |r1- r2 |
Lo cual entra en contradicción con lo que descubrimos unos párrafos más arriba, o sea:
|b| ≤ |r1- r2 |
Esta contradicción demuestra la falsedad de nuestro postulado sobre la posibilidad de qs y rs diferentes, lo cual quiere decir que por fuerza, q1 = q2 y r1= r2(otra forma de afirmar esto último es decir que su diferencia es 0, r1- r2= 0).
Lo anterior es válido en las condiciones que hemos formulado, pero ¿qué pasa si quisiésemos extenderlo de b ∈N a b ∈Z (excluyendo, obviamente, a b = 0 porque no se puede dividir por 0), y teniendo que pasar de b a |b| para evitar problemas con negativos? O sea:
a = bq + rcon 0 ≤ r < |b|
Eso se soluciona con el siguiente corolario:
1) Para el caso b > 0, la demostración anterior ya nos vale.
2) Para el caso b < 0 : Si b es menor que 0, entonces su inverso, -b, es mayor que 0. Entonces, por el teorema anterior (que se aplicaba a todo número > 0) tenemos que
a = (-b)q’ + rcon 0 ≤ r < (-b)
Algebraicamente, podemos quitarle ese signo negativo a la b y pasárselo a q’:
a = b(-q’) + rcon 0 ≤ r < (-b)
Y el (-b) de final de la desigualdad podemos cambiarlo por |b| (que es igual a –b si b es <0, por definición de valor absoluto).
a = b(-q’) + rcon 0 ≤ r < |b|
Y ya está. –q’ si queremos podemos llamarlo q, y ya hemos vuelto a la forma inicial, añadiendo el valor absoluto para b:
a = bq + rcon 0 ≤ r < |b|
Igualmente, se cumpliría por las mismas reglas la unicidad de q y r por lo expuesto con anterioridad.
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