Ningún número n^2+1 es múltiplo de 7

Para empezar la prueba, como en tantas otras, comenzamos suponiendo lo contrario de lo que se quiere probar hasta llegar a una contradicción.

1) Asumimos, entonces, que existe un número n tal que n^2+1 es un múltiplo de 7, por lo que es equivalente a 7q: n^2+1 = 7q

Hay varias formas de manipular algebraicamente esta igualdad, pero para manipulaciones posteriores, lo ideal será una forma del modelo general aq+r. Para hacer eso, primero aislamos el cuadrado en un lado de la igualdad: n^2 = 7q -1; ese -1 puede cambiarse por un equivalente -7 + 6: 7q -7+6; factorizando el siete tenemos 7(q-1)+6; y finalmente, n^2 = 7(q-1)+6.

2) Gracias a la transformación que hemos hecho, resulta evidente ver que n^2 MOD 7 = 6. 

3) Necesitamos antes de proseguir aclarar una serie de pormenores que nos serán útiles en la siguiente parte de la prueba. El primero es que n MOD 7 = (n MOD 7) MOD 7. Esto parecería trivial (sea cual sea n, la primera operación del módulo lo transforma en un número <7; sucesivas iteraciones no alterarán esto: al ya estar (n MOD 7) en su 'forma mínima', el repetir la operación MOD lo mantiene igual), pero será útil. Igualmente, n^2 MOD 7 = (n^2 MOD 7) MOD 7.

El otro pormenor que necesitamos recordar es que, por propiedades modulares, si a MOD n = c MOD n y b MOD n = d MOD n, entonces (ab) MOD n = (cd) MOD n.

4) Básicamente, vamos a aplicar la última igualdad, luego de fijar las siguientes equivalencias:

a = n

b = n MOD 7

c = n

d = n MOD 7

Haciendo la multiplicación e igualación pertinente, tenemos que (n x n) MOD 7 = [(n MOD 7) x (n MOD 7)] MOD 7. Esto es igual a n^2 MOD 7 = (n MOD 7)^2 MOD 7.

5) Parece que no hemos avanzado mucho, pero esta igualdad es clave. Ya habíamos bisto por el paso 2 que la parte derecha de la igualdad es igual a 6. Ahora tenemos una parte derecha de la igualdad donde sólo tenemos que comprobar todos los valores posibles para n MOD 7 (0,1,2,3,4,5,6) y luego elevarlos al cuadrado. Si alguno de ellos, luego de aplicarle MOD 7, es 6, entonces nuestra asunción es verdadera. Lo comprobamos:

(0 MOD 7)^2 = 0^2 = 0 NO 

(1 MOD 7)^2 = 1^2 = 1 NO 

(2 MOD 7)^2 = 2^2 = 4 NO 

(3 MOD 7)^2 = 3^2 = (9) 2 NO 

(4 MOD 7)^2 = 4^2 = (16) 2 NO 

(5 MOD 7)^2 = 5^2 = (25) 4 NO

(6 MOD 7)^2 = 6^2 = (36) 1 NO  

6) Conclusión: ya que hemos llegado a una contradicción, y la mitad derecha de la igualdad no es 6 en ningún caso, nuestra asunción era falsa, con lo que queda demostrado que ningún número de la forma n^2+1 puede ser múltiplo de 7.